育才学习网1.几个常用幂级数展开式
常用的幂级数展开式归纳如下图：
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幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
幂级数解法是求解常微分方程的一种方法，特别是当微分方程的解不能用初等函数或或其积分式表达时，就要寻求其他求解方法，尤其是近似求解方法，幂级数解法就是常用的近似求解方法。用幂级数解法和广义幂级数解法可以解出许多数学物理中重要的常微分方程，例如： 贝塞尔方程、勒让德方程。
参考资料：搜狗百科幂级数解法
2.幂级数展开式这样写正不正确
你的公式抄错了. 应该是sin(x) = ∑{1 ≤ n} (-1)^(n-1)·x^(2n-1)/(2n-1)！， 这样不会有n = 0的问题. 或者是sin(x) = ∑{0 ≤ n} (-1)^n·x^(2n+1)/(2n+1)！， 这样n = 0也没问题. 证明可用带Lagrange余项的Taylor展开. f(x) = ∑{0 ≤ k ≤ n} f^(k)(0)·x^k/k!+f^(n+1)(tx)·x^(n+1)/(n+1)！. 其中f^(k)(x)表示f(x)的k阶导数， f^(0)(x) = f(x)， 而t为（0,1）中的某个实数（与x有关）. sin(x)的各阶导数（从0阶开始）依次为sin(x), cos(x), -sin(x), -cos(x), sin(x), cos(x)，。
在x = 0处取值依次为0, 1, 0, -1, 0, 1，。 因此展开到2n+1阶得： sin(x) = ∑{0 ≤ k ≤ n} (-1)^k·x^(2k+1)/(2k+1)!+(-1)^(n+1)·sin(tx)·x^(2n+2)/(2n+2)！. 余项|（-1）^(n+1)·sin(tx)·x^(2n+2)/(2n+2)！| ≤ |x|^(2n+2)/(2n+2)！. 对任意给定的实数x, lim{n→∞} |x|^(2n+2)/(2n+2)! = 0， 故级数逐点收敛到sin(x). 即有sin(x) = ∑{0 ≤ n} (-1)^n·x^(2n+1)/(2n+1)!.。
3.常用的全面的幂级数展开公式
展开公式如图：
扩展资料：
幂函数的性质：
一、当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：
1、当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增。
2、当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增。
3、当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。
4、当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。
二、当α为分数时，α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：
1、当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增。
2、当α>0，分母为奇数时，若分子为偶数，函数在第一象限内单调递增，在第二象限单调递减；若分子为奇数，函数在第一、三象限各象限内单调递增。
3、当α<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减。
4、当α<0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。
三、当α>1时，幂函数图形下凹（竖抛）；当0<；α<1时，幂函数图形上凸（横抛）。
参考资料来源：搜狗百科-幂函数
4.幂级数展开式,过程详细,谢谢
解：第1题，∵e^x=∑（x^n）/(n!)=1+x+(1/2!)x^2+……+（x^n）/(n！)+……、e^(-x)=∑（x^n）/(n!)=1-x+(1/2!)x^2+……+[（-1）^n/(n!)](x^n)+……，
∴f(x)=(1/2)[e^x+e^(-x)]=1+(1/2!)x^2+(1/4!)x^4+……+[1/(2n)!]x^(2n)+……=∑[x^(2n)]/[(2n)！]，其中，n=0,1,2，……，∞，x∈R。
第2题，∵1/x=1/[1+(x-1)]，当丨x-1丨<1时，有1/[1+(x-1)]=∑[（-1）^n](x-1)^n),
∴f(x)=1/x=∑[（-1）^n](x-1)^n）。其中，n=0,1,2，……，∞，0<x<2。
供参考。
5.求函数的幂级数展开式
先求导数，导数之后就能用等比级数展开，在用逐项积分求出原函数的级数.arctan[(4+x^2)/(4-x^2)] '=1/{1+[(4+x^2)/(4-x^2)]^2} * [(4+x^2)/(4-x^2)] '最后化简得到=16x / (2x^4+32)（请帮忙检查一下有没有算对，我只写思路，不敢保证运算）上下同时除以32=(x/2) / [1+(x^4)/16]这是一个首项是x/2，公比是-（x^4）/16的等比级数，所以=（x/2） * {1 - (x^4)/16 + [(x^4)/16]^2 - [(x^4)/16]^3 +。
}= x/2 - (x/2)^5 + (x/2)^9 - (x/2)^13 + 。=∑（n=0，∞） [（-1）^n] * [(x/2)^(1+4n)]在对这个式子积分原式的级数展开式就是：=∑（n=0，∞） [（-1）^n] * [1/(1+2n)] * [(x/2)^(2+4n)]。