1.裂项相消法怎么用
举个最简单的例子,某一数列的通项公式an=1/[n(n+1)],求其前n项和Sn。
其实观察可知an=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1),实则上一项的减数等于下一项的被减数,所以两者相加就抵消掉了。因此Sn就是首项的被减数减去第n项的减数,即Sn=1/2-1/(n+1)。
这就是所谓的裂项相消法,此外还有很多例子,比如分母是连续奇数或连续偶数相乘,或者是阶乘,分子是个常数(往往是1)的,都可以采用裂项相消法求解Sn。裂项相消法能达到化繁为简的效果。求Sn前先观察通项公式,如果符合这样特点的就可以用裂项相消法了。
2.裂项相消的公式
1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
n·n!=(n+1)!-n!
扩展资料:
【例1】【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.
解:an=1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)](裂项)
则 Sn=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/n)- [1/(n+1)](裂项求和)
= 1-1/(n+1)
= n/(n+1)
【例2】【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1) 的前n项和.
解:an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3(裂项)
则 Sn=[1*2*3-0*1*2+2*3*4-1*2*3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3(裂项求和)
= [n(n+1)(n+2)]/3
3.裂项相消法是怎么回事
n(n+1)=1/n-1/(n+1) (裂项) 则 Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)] (4)1/(√a+√b)=[1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) (2)1/是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合;n-1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(a-b)](√a-√b) (5) n·n!=(n+1);2[1/: (1)1/n(n+1)(n+2)=1/!-n! 例:求数列an=1/n(n+1) 的前n项和,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如;(n+1)(裂项求和) = 1-1/(2n+1)] (3)1/. 解:设 an=1/。
4.求和方法中的裂项相消法怎么用
等差数列 定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。
等差中项 由三个数a,a,b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时,a叫做a与b的等差中项 有关系:a=(a+b)/2 通项公式 an=a1+(n-1)d an=sn-s(n-1) (n≥2) an=kn+b(k,b为常数) 前n项和 倒序相加法推导前n项和公式: sn=a1+a2+a3••••••+an =a1+(a1+d)+(a1+2d)+••••••+[a1+(n-1)d] ① sn=an+(an-d)+(an-2d)+••••••+[an-(n-1)d] ② 由①+②得2sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)(n个)=n(a1+an) 等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半: sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2 sn=(d/2)*n^2+(a1-d/2)n 性质 且任意两项am,an的关系为: an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式。
从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出: a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n} 若m,n,p,q∈n*,且m+n=p+q,则有 am+an=ap+aq s2n-1=(2n-1)an,s2n+1=(2n+1)an+1 sk,s2k-sk,s3k-s2k,…,snk-s(n-1)k…成等差数列,等等。 和=(首项+末项)*项数÷2 项数=(末项-首项)÷公差+1 首项=2和÷项数-末项 末项=2和÷项数-首项 设a1,a2,a3为等差数列。
则a2为等差中项,则2倍的a2等于a1+a3,即2a2=a1+a3。 等比数列 定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列(geometric sequence)。
这个常数叫做等比数列的公比(common ratio),公比通常用字母q表示。 等比中项 如果在a与b中间插入一个数g,使a,g,b成等比数列,那么g叫做a与b的等比中项。
有关系:g^2=ab;g=±(ab)^(1/2) 注:两个非零同号的实数的等比中项有两个,它们互为相反数,所以g^2=ab是a,g,b三数成等比数列的必要不充分条件。 通项公式 an=a1q^(n-1) an=sn-s(n-1) (n≥2) 前n项和 当q≠1时,等比数列的前n项和的公式为 sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) 当q=1时,等比数列的前n项和的公式为 sn=na1 性质 任意两项am,an的关系为an=am•q^(n-m) (3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出: a1•an=a2•an-1=a3•an-2=…=ak•an-k+1,k∈{1,2,…,n} (4)等比中项:aq•ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项。
记πn=a1•a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1 另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数c为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂can,则是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
性质: ①若 m、n、p、q∈n*,且m+n=p+q,则am•an=ap•aq; ②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列. “g是a、b的等比中项”“g^2=ab(g≠0)”. (5) 等比数列前n项之和sn=a1(1-q^n)/(1-q) 在等比数列中,首项a1与公比q都不为零. 注意:上述公式中a^n表示a的n次方。等和数列 定义 “等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。
对一个数列,如果其任意的连续k(k≥2)项的和都相等,我们就把此数列叫做等和数列 性质 必定是循环数列 数列前n项和公式的求法(一)1.等差数列: 通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数 ak=ak+(n-k)d ak为第k项数 若a,a,b构成等差数列 则 a=(a+b)/2 2.等差数列前n项和: 设等差数列的前n项和为sn 即 sn=a1+a2+。+an; 那么 sn=na1+n(n-1)d/2 =dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n 还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法 2 累加法 3 倒序相加法 (二)1.等比数列: 通项公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项,an为第n项 an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1) 则an/am=q^(n-m) (1)an=am*q^(n-m) (2)a,g,b 若构成等比中项,则g^2=ab (a,b,g不等于0) (3)若m+n=p+q 则 am*an=ap*aq 2.等比数列前n项和 设 a1,a2,a3。
an构成等比数列 前n项和sn=a1+a2+a3。an sn=a1+a1*q+a1*q^2+。
.a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解) sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q); 注: q不等于1; sn=na1 注:q=1 求和一般有以下5个方法: 1,完全归纳法(即数学归纳法) 2 累乘法 3 错位相减法 4 倒序求和法 5 裂项相消法。
5.裂项相消法怎么提取系数
倒推法:
如:1/n(n+3)
1/n-1/(n+3)=3/n(n+3)
所以:1/n(n+3)=(1/3)*(1/n-1/(n+3)
注意有的题目在相互抵消时,反应可能缓慢,规律是前面剩几个被减项则后面就有几个减项
有些题目可能有点难
如:an=1/n(n+1)^3 则Sn
对不起前面的“2 ”错了应该是“3”
如:1/n(n+3)
1/n-1/(n+3)=3/n(n+3)
所以:1/n(n+3)=(1/3)*(1/n-1/(n+3)
把一个裂开成两个相减 提取的系数是“差的倒数”
如1/n(n+3)=(1/3)*(1/n-1/(n+3)中1/3就是n+3与n的差“3”的倒数
1/n(n+1)=1/n-1/n+1
1/n(n+2)=(1/2)*(1/n-1/n+2) 提取系数 1[(n+2)-n]=1/2
1/n(n+3)=(1/3)*(1/n-1/(n+3) 提取系数 1[(n+3)-n]=1/3
6.裂项相消法
1裂项法求和编辑这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.。(1)1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)](2)1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)](3)1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}(4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)(5) n·n!=(n+1)!-n!(6)1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n 基本裂项式
+k)] 分母三个数相乘的裂项公式
2示例编辑【例1】【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.解:an=1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)](裂项)则 Sn=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/n)- [1/(n+1)](裂项求和)= 1-1/(n+1)= n/(n+1)【例2】【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1) 的前n项和.解:an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3(裂项)则 Sn=[1*2*3-0*1*2+2*3*4-1*2*3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3(裂项求和)= [n(n+1)(n+2)]/3【例3】1/(1*4)+1/(4*7)+1/(7*10)+……+1/(91*94)使用裂项公式将每个分式展开成两个分数。原式=1/3 *[(1-1/4)+(1/4-1/7)+(1/7-1/10)+……+(1/91-1/94)]=1/3*(1-1/94)=31/943小结编辑此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。注意: 余下的项具有如下的特点1余下的项前后的位置前后是对称的。2余下的项前后的正负性是相反的。易错点:注意检查裂项后式子和原式是否相等,典型错误如:1/(3*5)=1/3-1/5(等式右边应当除以2)附:数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项结构)1、分组法求数列的和:如an=2n+3n2、错位相减法求和:如an=n·2^n3、裂项法求和:如an=1/n(n+1)4、倒序相加法求和:如an= n5、求数列的最大、最小项的方法:① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3② (an>0) 如an=③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)6、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解:(1)当 a1>0,d<0时,满足{an}的项数m使得Sm取最大值.(2)当 a1<0,d>0时,满足{an}的项数m使得Sm取最小值.7、对于1/n+1/(n+1)+1/(n+2)……+1/(n+n)的算式同样适用。[1]
7.求解数列裂项相消时裂项的方法
裂项相消就是根据数列通项公式的特点,把通项公式写成前后能够消去的形式,裂项后消去中间的部分,达到求和目的一种数列求和方法。
1、根据通项公式找裂项公式,然后逐项写开,消去。举个最简单的例子,某一数列的通项公式an=1/[n(n+1)],求其前n项和Sn。 其实观察可知an=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1),实则上一项的减数等于下一项的被减数,所以两者相加就抵消掉了。因此Sn就是首项的被减数减去第n项的减数,即Sn=1/2-1/(n+1), 这就是裂项相消法。
2、如分母是连续奇数或连续偶数相乘,或者是阶乘,分子是个常数(往往是1)的,都可用裂项相消法求解Sn。
3、裂项相消法能达到化繁为简的效果。求Sn前先观察通项公式,如果符合这样特点的就可以用裂项相消法。
所以常用的结论:1)1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
2),1/n(n+k)=k(1/n-1/(n+k))前面的常数是分母两数的差,后面的两个分数就是把前的分母分解后仍然做分母。