育才学习网1.裂项相消法怎么用
举个最简单的例子，某一数列的通项公式an=1/[n(n+1)]，求其前n项和Sn。
其实观察可知an=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)，实则上一项的减数等于下一项的被减数，所以两者相加就抵消掉了。因此Sn就是首项的被减数减去第n项的减数，即Sn=1/2-1/(n+1)。
这就是所谓的裂项相消法，此外还有很多例子，比如分母是连续奇数或连续偶数相乘，或者是阶乘，分子是个常数（往往是1）的，都可以采用裂项相消法求解Sn。裂项相消法能达到化繁为简的效果。求Sn前先观察通项公式，如果符合这样特点的就可以用裂项相消法了。
2.裂项相消的公式
1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
1/（√a+√b）=[1/(a-b)]（√a-√b）
n·n!=(n+1)!-n!
扩展资料：
【例1】【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.
解：an=1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)]（裂项）
则 Sn=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+（1/n）- [1/(n+1)]（裂项求和）
= 1-1/(n+1)
= n/(n+1)
【例2】【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1) 的前n项和.
解：an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项）
则 Sn=[1*2*3-0*1*2+2*3*4-1*2*3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项求和）
= [n(n+1)(n+2)]/3
3.裂项相消法是怎么回事
n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项） 则 Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)] (4)1/（√a+√b）=[1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) (2)1/是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合；n-1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(a-b)]（√a-√b） (5) n·n!=(n+1);2[1/: (1)1/n(n+1)(n+2)=1/!-n！ 例：求数列an=1/n(n+1) 的前n项和，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如；（n+1）（裂项求和） = 1-1/(2n+1)] (3)1/. 解：设 an=1/。
4.求和方法中的裂项相消法怎么用
等差数列 定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
等差中项 由三个数a,a,b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，a叫做a与b的等差中项 有关系：a=(a+b)/2 通项公式 an=a1+(n-1)d an=sn-s(n-1) (n≥2) an=kn+b(k,b为常数) 前n项和 倒序相加法推导前n项和公式： sn=a1+a2+a3••••••+an =a1+(a1+d)+(a1+2d)+••••••+[a1+(n-1)d] ① sn=an+(an-d)+(an-2d)+••••••+[an-(n-1)d] ② 由①+②得2sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)(n个)=n(a1+an) 等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半： sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2 sn=(d/2)*n^2+(a1-d/2)n 性质 且任意两项am,an的关系为： an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式。
从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2，…，n} 若m,n,p,q∈n*，且m+n=p+q，则有 am+an=ap+aq s2n-1=(2n-1)an,s2n+1=(2n+1)an+1 sk,s2k-sk,s3k-s2k，…，snk-s(n-1)k…成等差数列，等等。 和=（首项+末项）*项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1 首项=2和÷项数-末项 末项=2和÷项数-首项 设a1,a2,a3为等差数列。
则a2为等差中项，则2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。 等比数列 定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列（geometric sequence）。
这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。 等比中项 如果在a与b中间插入一个数g，使a,g,b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项。
有关系：g^2=ab;g=±（ab）^(1/2) 注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以g^2=ab是a,g,b三数成等比数列的必要不充分条件。 通项公式 an=a1q^(n-1) an=sn-s(n-1) (n≥2) 前n项和 当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为 sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) 当q=1时，等比数列的前n项和的公式为 sn=na1 性质 任意两项am,an的关系为an=am•q^(n-m) (3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1•an=a2•an-1=a3•an-2=…=ak•an-k+1,k∈{1,2，…，n} (4)等比中项：aq•ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项。
记πn=a1•a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数c为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
性质： ①若 m、n、p、q∈n*，且m+n=p+q，则am•an=ap•aq； ②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. “g是a、b的等比中项”“g^2=ab(g≠0)”. (5) 等比数列前n项之和sn=a1(1-q^n)/(1-q) 在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中a^n表示a的n次方。等和数列 定义 “等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
对一个数列，如果其任意的连续k(k≥2)项的和都相等，我们就把此数列叫做等和数列 性质 必定是循环数列 数列前n项和公式的求法（一）1.等差数列： 通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1，公差d, an第n项数 ak=ak+(n-k)d ak为第k项数 若a,a,b构成等差数列 则 a=(a+b)/2 2.等差数列前n项和： 设等差数列的前n项和为sn 即 sn=a1+a2+。+an； 那么 sn=na1+n(n-1)d/2 =dn^2（即n的2次方） /2+(a1-d/2)n 还有以下的求和方法： 1，不完全归纳法 2 累加法 3 倒序相加法 （二）1.等比数列： 通项公式 an=a1*q^(n-1)（即q的n-1次方） a1为首项，an为第n项 an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1) 则an/am=q^(n-m) (1)an=am*q^(n-m) (2)a,g,b 若构成等比中项，则g^2=ab (a,b,g不等于0) (3)若m+n=p+q 则 am*an=ap*aq 2.等比数列前n项和 设 a1,a2,a3。
an构成等比数列 前n项和sn=a1+a2+a3。an sn=a1+a1*q+a1*q^2+。
.a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)（这个公式虽然是最基本公式，但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的，这时可能要直接从基本公式推导过去，所以希望这个公式也要理解） sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)； 注： q不等于1; sn=na1 注：q=1 求和一般有以下5个方法： 1，完全归纳法（即数学归纳法） 2 累乘法 3 错位相减法 4 倒序求和法 5 裂项相消法。
5.裂项相消法怎么提取系数
倒推法：
如：1/n(n+3)
1/n-1/(n+3)=3/n(n+3)
所以：1/n(n+3)=(1/3)*(1/n-1/(n+3)
注意有的题目在相互抵消时，反应可能缓慢，规律是前面剩几个被减项则后面就有几个减项
有些题目可能有点难
如：an=1/n(n+1)^3 则Sn
对不起前面的“2 ”错了应该是“3”
如：1/n(n+3)
1/n-1/(n+3)=3/n(n+3)
所以：1/n(n+3)=(1/3)*(1/n-1/(n+3)
把一个裂开成两个相减 提取的系数是“差的倒数”
如1/n(n+3)=(1/3)*(1/n-1/(n+3)中1/3就是n+3与n的差“3”的倒数
1/n(n+1)=1/n-1/n+1
1/n(n+2)=(1/2)*(1/n-1/n+2) 提取系数 1[(n+2)-n]=1/2
1/n(n+3)=(1/3)*(1/n-1/(n+3) 提取系数 1[(n+3)-n]=1/3
6.裂项相消法
1裂项法求和编辑这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.。（1）1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)](2)1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)](3)1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}(4)1/（√a+√b）=[1/(a-b)]（√a-√b）(5) n·n!=(n+1)!-n!(6)1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n 基本裂项式
+k)] 分母三个数相乘的裂项公式
2示例编辑【例1】【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.解：an=1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)]（裂项）则 Sn=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+（1/n）- [1/(n+1)]（裂项求和）= 1-1/(n+1)= n/(n+1)【例2】【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1) 的前n项和.解：an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项）则 Sn=[1*2*3-0*1*2+2*3*4-1*2*3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项求和）= [n(n+1)(n+2)]/3【例3】1/(1*4)+1/(4*7)+1/(7*10)+……+1/(91*94)使用裂项公式将每个分式展开成两个分数。原式=1/3 *[(1-1/4)+(1/4-1/7)+(1/7-1/10)+……+（1/91-1/94）]=1/3*(1-1/94)=31/943小结编辑此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。注意： 余下的项具有如下的特点1余下的项前后的位置前后是对称的。2余下的项前后的正负性是相反的。易错点：注意检查裂项后式子和原式是否相等，典型错误如：1/(3*5)=1/3-1/5（等式右边应当除以2）附：数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。（关键是找数列的通项结构）1、分组法求数列的和：如an=2n+3n2、错位相减法求和：如an=n·2^n3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)4、倒序相加法求和：如an= n5、求数列的最大、最小项的方法：① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3② （an>0） 如an=③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)6、在等差数列 中，有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：（1）当 a1>0,d<0时，满足{an}的项数m使得Sm取最大值.（2）当 a1<0,d>0时，满足{an}的项数m使得Sm取最小值.7、对于1/n+1/(n+1)+1/(n+2)……+1/(n+n)的算式同样适用。[1]
7.求解数列裂项相消时裂项的方法
裂项相消就是根据数列通项公式的特点，把通项公式写成前后能够消去的形式，裂项后消去中间的部分，达到求和目的一种数列求和方法。
1、根据通项公式找裂项公式，然后逐项写开，消去。举个最简单的例子，某一数列的通项公式an=1/[n(n+1)]，求其前n项和Sn。 其实观察可知an=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)，实则上一项的减数等于下一项的被减数，所以两者相加就抵消掉了。因此Sn就是首项的被减数减去第n项的减数，即Sn=1/2-1/(n+1)， 这就是裂项相消法。
2、如分母是连续奇数或连续偶数相乘，或者是阶乘，分子是个常数（往往是1）的，都可用裂项相消法求解Sn。
3、裂项相消法能达到化繁为简的效果。求Sn前先观察通项公式，如果符合这样特点的就可以用裂项相消法。
所以常用的结论：1)1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
2),1/n(n+k)=k(1/n-1/(n+k)）前面的常数是分母两数的差，后面的两个分数就是把前的分母分解后仍然做分母。
