育才学习网1. 1的立方+2的立方+3的立方+
前n个自然数的和： 1+2+。
+n=n(n+1)/2 前n个自然数平方和： n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 。
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+。+n^2)+[1^2+2^2+。
+(n-1)^2]-(2+3+4+。+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+。
+n^2)-2+[1^2+2^2+。+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+。
+n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+。+n^2)-2-n^2-(1+2+3+。
+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+。+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+。
+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 1^2+2^2+3^2+。+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1 4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1 。
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1 各式相加有 （n+1）^4-1=4*(1^3+2^3+3^3。
+n^3)+6*(1^2+2^2+。+n^2)+4*(1+2+3+。
+n)+n 4*(1^3+2^3+3^3+。+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n =[n(n+1)]^2 1^3+2^3+。
+n^3=[n(n+1)/2]^2 ===============================发穿篡费诂渡磋杀单辑=== 或者是： 原试=（1+2+3+。+N）^2 过程如下：设1^3+2^3+。
n^3=P(n)两边取导数得 3(1^2+2^2+。+n^2)=P(n)的导数 由于1^2+2^2+。
+n^2=1/6n(n+1)(2n+1) 所以P(n)的导数=1/2n(n+1)(2n+1)=1/2(2n^3+3n^2+n) 再对1/2(2n^3+3n^2+n)取积分得1/4(n^4+2n^3+n^2)+C(C为常数) 化简得（（1+n）n/2)^2+C 将n=1代入 由（（1+n）n/2)^2+C=1得C=0 所以P(n)=((1+n)n/2)^2。