育才学习网1.定点A(
设M(x,y)
向量AM=(x+1,y) 向量BM=(x-1,y)
点M到点C(0,1)距离平方为：x^2+(y-1)^2
向量AM乘向量BM:(x+1)(x-1)+y^2 = x^2-1+y^2
x^2-1+y^2=k*[x^2+(y-1)^2]
(k-1)x^2+(k-1)y^2+k-2ky+1=0
当k=1时，y=1 是一条直线
当k不等于1时，x^2+[y-k/(k-1)]^2=1/[(k-1)^2],
该曲线是以（0,k/(k-1)）为圆心，以1/(k-1)为半径的圆
2.空间向量怎样过定点求平面法向量
(43) 平面法向量的求法及其应用 嵩明县一中 吴学伟 引言：本节课介绍平面法向量的三种求法，并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。
其中重点介绍外积法求平面法向量的方法，因为此方法比内积法更具有优越性，特别是在求二面角的平面角方面。此方法的引入，将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。
一、平面的法向量 1、定义：如果 ，那么向量 叫做平面 的法向量。平面 的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法 方法一（内积法）：在给定的空间直角坐标系中，设平面 的法向量 [或 ，或 ]，在平面 内任找两个不共线的向量 。由 ，得 且 ，由此得到关于 的方程组，解此方程组即可得到 。
方法二：任何一个 的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是 的一次方程。 ，称为平面的一般方程。
其法向量 ；若平面与3个坐标轴的交点为 ，如图所示，则平面方程为： ，称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。方法三（外积法）： 设 ， 为空间中两个不平行的非零向量，其外积 为一长度等于 ，（θ为 ， 两者交角，且 ），而与 ， 皆垂直的向量。
通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为 的方向， 。 （注：1、二阶行列式： ；2、适合右手定则。）
例1、已知， ，试求（1）: (2): Key: (1) ； 例2、如图1-1，在棱长为2的正方体 中，求平面AEF的一个法向量 。二、平面法向量的应用1、求空间角（1）、求线面角：如图2-1，设 是平面 的法向量，AB是平面 的一条斜线， ，则AB与平面 所成的角为：图2-1-1： 图2-1-2: (2)、求面面角：设向量 ， 分别是平面 、的法向量，则二面角 的平面角为： （图2-2）； （图2-3） 两个平面的法向量方向选取合适，可使法向量夹角就等于二面角的平面角。
约定，在图2-2中， 的方向对平面 而言向外， 的方向对平面 而言向内；在图2-3中， 的方向对平面 而言向内， 的方向对平面 而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角 的平面角。
2、求空间距离 （1）、异面直线之间距离：方法指导：如图2-4，①作直线a、b的方向向量 、，求a、b的法向量 ，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作向量 ；③求向量 在 上的射影d，则异面直线a、b间的距离为 ，其中 （2）、点到平面的距离：方法指导：如图2-5，若点B为平面α外一点，点A 为平面α内任一点，平面的法向量为 ，则点P到 平面α的距离公式为 （3）、直线与平面间的距离：方法指导：如图2-6，直线 与平面 之间的距离： ，其中 。 是平面 的法向量 （4）、平面与平面间的距离：方法指导：如图2-7，两平行平面 之间的距离： ，其中 。
是平面 、的法向量。3、证明 （1）、证明线面垂直：在图2-8中， 向是平面 的法向量， 是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（ ）。
（2）、证明线面平行：在图2-9中， 向是平面 的法向量， 是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（ ）。（3）、证明面面垂直：在图2-10中， 是平面 的法向量， 是平面 的法向量，证明两平面的法向量垂直（ ） （4）、证明面面平行：在图2-11中， 向是平面 的法向量， 是平面 的法向量，证明两平面的法向量共线（ ）。
三、高考真题新解1、（2005全国I,18）（本大题满分12分） 已知如图3-1，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB‖DC， 底面ABCD，且PA=AD=DC= AB=1,M是PB的中点 （Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小 解：以A点为原点，以分别以AD,AB,AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示. ， ，设平面PAD的法向量为 ， ，设平面PCD的法向量为 ， ，即平面PAD 平面PCD。 ， ， ， ，设平在AMC的法向量为 .又 ，设平面PCD的法向量为 . . 面AMC与面BMC所成二面角的大小为 . 2、（2006年云南省第一次统测19题） （本题满分12分） 如图3-2，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=AA1=a,BC= a,M是AD的中点。
（Ⅰ）求证：AD‖平面A1BC；（Ⅱ）求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；（Ⅲ）求点A到平面A1MC的距离。解：以D点为原点，分别以DA,DC,DD1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz如图所示. ， ，设平面A1BC的法向量为 又 ， ， ，即AD//平面A1BC. ， ，设平面A1MC的法向量为： ，又 ， ，设平面A1BD1的法向量为： ， ， ，即平面A1MC 平面A1BD1. 设点A到平面A1MC的距离为d， 是平面A1MC的法向量，又 ， A点到平面A1MC的距离为： .四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”（1）、建立空间直角坐标系（利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件，相关几何知识的综合运用，建立右手系），用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转。
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