育才学习网1.函数的值域怎么求
函数值域的几种常见方法1.直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}；二次函数 的定义域为R，当a>0时，值域为{ }；当a<0时，值域为{ }.例1.求下列函数的值域① y=3x+2(-1 x 1) ② ③ ④ 解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3，∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1,5]②∵ ∴ 即函数 的值域是 { y| y 2} ③ ④当x>0，∴ = ，当x<0时， =- ∴值域是 [2，+ ）.（此法也称为配方法）函数 的图像为：2.二次函数比区间上的值域（最值）：例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：① ； 解：∵ ，∴顶点为（2,-3），顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，∴x=2时，ymin=-3 ，无最大值；函数的值域是{y|y -3 }.②∵顶点横坐标2 [3,4]，当x=3时，y= -2;x=4时，y=1； ∴在[3,4]上， =-2, =1；值域为[-2,1].③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1;x=1时，y=-2，∴在[0,1]上， =-2, =1；值域为[-2,1].④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1;x=2时，y=-3, x=5时，y=6，∴在[0,1]上， =-3, =6；值域为[-3,6].注：对于二次函数 ，⑴若定义域为R时，①当a>0时，则当 时，其最小值 ；②当a<0时，则当 时，其最大值 .⑵若定义域为x [a,b]，则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若 [a,b]，则 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较 的大小决定函数的最大（小）值.②若 [a,b]，则[a,b]是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.3.判别式法（△法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 例3.求函数 的值域方法一：去分母得 （y-1） +(y+5)x-6y-6=0 ①当 y11时 ∵x?R ∴△=（y+5） +4(y-1)*6(y+1) 0由此得 （5y+1） 0 检验 时 （代入①求根）∵2 ？ 定义域 { x| x12且 x13} ∴ 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11综上所述，函数 的值域为 { y| y11且 y1 }方法二：把已知函数化为函数 （x12）∵ x=2时 即 说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.4.换元法例4.求函数 的值域解：设 则 t 0 x=1- 代入得 5.分段函数例5.求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y 3}.解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1,2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+ ]. 如图两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.小结：求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.。
2.函数的值域怎么算
1、y=x+√（1-x^2）
因为函数的定义域是[-1,1]，令x=sint,t∈[-π/2，π/2]，那么 y=sint+cost=√2 sin(t+π/4)
由于t+π/4∈[-π/4,3π/4]，所以-√2/2<=sin(t+π/4)<=1，即 -1<=y<；=√2
答案：函数的值域是[-1，√2]。
2、y=(2x^2-x+2)/(x^2+x+1)
因为函数的定义域是R，把函数化成关于x的一元二次方程：（y-2）x^2+(y+1)x+y-2=0，那么该方程一定有实数根，该方程的判别式△=（y+1）^2-4(y-2)(y-2)>=0，得到关于y的一元二次不等式：y^2-6y+5<=0
解之得 1=<y<=5
答案：函数的值域是[1,5]。
3、y=(2x^2-x+1)/(2x-1)(x>1/2)
因为函数的定义域是（1/2，+∞），把函数化成关于x的一元二次方程：2x^2-(2y+1)x+y+1=0，那么该方程一定有大于1/2的实数根，由韦达定理与根的判别式，得到关于y的不等是组：4y^2-4y-7>=0且
(2y+1)/2>1 且 （y+1）/2>1/4，解之得 y>；=√2+1/2
答案：函数的值域是[√2+1/2，+∞）（注：用第一回答人的方法比较简单，这里主要重复介绍一下“判别式法”）
4、y=1-sinx/2-cosX
函数的定义域是R，把函数化成y=2(sinx/2-1/4)^2-1/8 ，因为 -1<=sinx/2=<1，那么-5/4<=sinx/2-1/4=<3/4
0<；=│sinx/2-1/4│<=5/4
所以求得 -1/8<=y=<3
答案：函数的值域是[-1/8,3]。
5、y=√（x^2+4）+√（x^2+2x+10）
函数的定义域是R，还是推荐前面的解法 ，动点（x,0）到定点（0,2）与（-1,-3） 的距离之和就是y，求出y=>；√26
答案：函数的值域是[√26，+∞）。
3.函数 , 的值域是
值域： 数学名词，函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。
函数经典定义中，因变量的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。即{y∣y=f(x),x∈D} 常见函数值域： y=kx+b (k≠0)的值域为R y=k/x 的值域为（-∞，0）∪（0，+∞） y=√x的值域为x≥0 y=ax^2+bx+c 当a>0时，值域为 [4ac-b^2/4a，+∞） ； 当a<0时，值域为（-∞，4ac-b^2/4a] y=a^x 的值域为 （0，+∞） y=lgx的值域为R 化归法 在解决问题的过程中，数学家往往不是直接解决原问题，而是对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个（些）已经解决的问题，或容易解决的问题。
把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法； 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
例如在分解（x²+x+1）(x²+x+2)-12时，可以令y=x²+x，则 原式=（y+1）(y+2)-12 =y²+3y+2-12=y²+3y-10 =(y+5)(y-2) =(x²+x+5)(x²+x-2) =(x²+x+5)(x+2)(x-1). 例2,(x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4 令x+5=m,y-4=n 原方程可写为 m+n=8 m-n=4 解得m=6,n=2 所以x+5=6,y-4=2 所以x=1,y=6 注意：换元后勿忘还原； 利用函数和他的反函数定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域； 图像法 根据函数图象，观察最高点和最低点的纵坐标。
配方法 利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。 单调性法 利用二次函数的顶点式或对称轴，再根据单调性来求值域。
反函数法 若函数存在反函数，可以通过求其反函数，确定其定义域就是原函数的值域。 换元法 包含代数换元、三角换元两种方法，换元后要特别注意新变量的范围[1] 。
判别式法 判别式法即利用二次函数的判别式求值域。 复合函数法 设复合函数为f[g(x),]g(x) 为内层函数， 为了求出f的值域，先求出g(x)的值域， 然后把g(x) 看成一个整体，相当于f(x)的自变量x，所以g(x)的值域也就是f[g(x)]的定义域，然后根据 f(x)函数的性质求出其值域； 三角代换法 利用基本的三角关系式，进行简化求值。
例如：a的平方+b的平方=1,c的平方+d的平方=1，求证：ac+bd小于或等于1. 直接计算麻烦 用三角代换法比较简单：做法：设a=sin x ,b=cos x ,c=sin y , d=cos y，则 ac+bd= sin x*sin y + cos x * cos y =cos (y-x)，因为我们知道cos (y-x)小于等于1，所以不等式成立。； 不等式法 基本不等式法：利用a+b≥2√ab（其中a,b∈R+）求函数值域时，要时刻注意不等式成立的条件，即“一正，二定，三相等”。
分离常数法 把分子分母中都有的未知数变成只有分子或者只有分母的情况，由于分子分母中都有未知数与常数的和，所以一般来说我们分拆分子，这样把分子中的未知数变成分母的倍数，然后就只剩下常数除以一个含有未知数的式子。
4.函数的值域和最值,请写出详细过程
解答：（1）根据x的取值范围化简f(x)的解析式，将解析式化到完全平方与常数的代数和形式，在每一段上求出值域，再把值域取并集.
(2)画出函数图象，观察最大值的位置，通过求函数值，解出最大值.
解：画出y=2x,y=x+2,y=10-x的图象，
观察图象可知，当0≤x≤2时，f(x)=2x,
当2≤x≤3时，f(x)=x+2,
当x>4时，f(x)=10-x,
f(x)的最大值在x=4时取得为6,
也可以利用函数单调性，解法如下：
由x+2-(10-x)=2x-8≥0，得x≥4.
02由2x+x-10=0得x1≈2.84
x>x1时2x>10-x,x>4时x+2>10-x,f(x)=10-x.
综上，f(x)=
2^x,(0x+2,(210−x(x>4).减
∴f(x)max=f(4)=6.