育才学习网1.解函数的单调区间的方法和步骤
单调性的定义及其三种表述方法：设有函数y = f(x) , ( X∈M ) (1)、首先根据函数图象的特点得出定义的图象语言表述 如果在定义域的某个区间里，函数的图像从左到右上升，则函数是增函数；如果在定义域的某个区间里，函数的图像从左到右下降，则函数是减函数。
（2）、其次给出函数的相应的性质定义的文字语言表述 如果在某个区间里y随着x的增大而增大，则称y是该区间上的增函数，该区间称为该函数的递增区间；如果在某个区间里y随着x的增大而减小，则称y是该区间上的减函数，该区间称为该函数的递减区间。递增区间和递减区间统称为函数的单调区间，在定义域上的增函数和减函数称为单调函数。
（3）、最后翻译为数学符号语言，得到定义的数学语言表述： 如果对于任意的 x1、x2∈[a、b]包含于M，若当x1若当 x1y2 ，即f(x1)>f(x2) ，则称f(x)在[a、b]上递减，称y是该区间上的减函数，[a、b]称为y = f(x) 的单调减区间；2、定义的剖析：（1） 单调性是函数随自变量的变化而变化的局部特性，是函数的一个的局部性质，在定义域的不同的局部，函数的单调性可能不同，也可能相同。因此在说到函数的单调性时，一定要指明所在区间。
例：Y0 X (2) 在每个局部的单调性不同时，整体上必定没有单调性。例：二次函数 （3） 每个局部的单调性都相同时，整体上可能有相同的单调性。
例：一次函数 （4）每个局部的单调性都相同时，整体上也可能没有单调性。例：反比例函数 （5）整体上有单调性时，则任意局部都有相同的单调性。
例：一次函数 （6）整体上没有单调性时，可能在任意的局部都没有单调性。例：迪里赫来函数 （7）必须注意x1、x2 的任意性，只要有一个反例，即可证明该区间不是函数的单调区间。
例：有间断点的分段函数3、（新课标苏教本必修一课本P34）例题讲解 学法指导——典型问题及解法1、证明或判定函数在给定区间上的单调性的方法与步骤 （1） 定义法：[取值、作差（或作商）、变形（化积或配方）、判断] 作差是把比较两个实数（或代数式）的大小转化为比较一个实数与零的大小，这只须判断该实数的符号即可，是问题的简化；变形是为了把比较复杂的式子化成易判断符号的形式：① 把差式化为若干个因式的乘积，其中每个因式的符号可以判定；② 不能因式分解时可配方化为若干个完全平方的和，例： ，（作差后变形时先因式分解再配方）.（2） 图像法：用描点法作出函数的图象，并根据图象的特点判定单调性。例： ，（注意使用描点法作函数图象的步骤）2、求函数的单调区间的方法与步骤 （1）求出函数的定义域 （2）将定义域划分为若干个区间 （3）判定在各个区间上的单调性 （4）确定函数的单调区间 解此类问题的关键是要找到定义域的分段点 例：3、比较两个数的大小的步骤：①观察欲比大小的两个数的结构，把二者不同的部分换成自变量x，相同的部分保持不变，确定拟利用的函数y=f(x)及其定义域。
②把已知的两个数不同的部分作为该函数的自变量x的两个值，两个数作为相应的两个函数值，并确定自变量所在区间；③确定该函数在该区间上的单调性；④根据自变量的大小确定函数值的大小，即已知的两个数的大小。例1：（新课标苏教本必修一P50例1,P67例2） 例2： 比较 的大小.解：根据题设的两个对数，选择 ，u∈（0，+∞） 由 解得x>–1. 因函数 在（0，+∞）上单调递增，当x>–1时，有 .故有 。
注意：①解题过程中应注意充分利用图像。②有时两数结构不相同，需要选择适当的中介数完成任务。
例：（新课标苏教本必修一 P70NO7） ③有时需要利用函数的奇偶性或周期性转换区间。例：比较 的大小.答疑解惑1、定义中对于区间的表示方法问题为何可用一个大写字母表示？为何不写端点？ 因为区间有各种情况（开、闭、半开半闭、无穷等），有各种不同的表示形式，但都是一个数集，故统一用一个大写字母表示。
2、单调性改变点的归属区间问题 从定义域划分为区间应遵从不重不漏的原则上来讲，两个相邻区间的公共端点应只属于前后其中一个区间。但在求求一个函数的某个单调区间时，端点能包含进去的应写成闭区间，即一个点可以同时属于两个相邻的单调区间，但加端点后不单调的情形，就不能加， 一般如果区间的左（右）端点上不是右（左）连续的话，单调区间有可能不能包括端点。
2、单调区间的并集就是定义域的说法正确吗？单调区间合起来是定义域，这个结论不完全正确，对于连续函数来说是正确的，但对于一些特殊的函数就不一定对了，例如：分段函数y=1/x(x0)或=0(x=0)3、根据函数的图象求函数的单调区间要注意什么？图象一定要准确、完整，对于观察得出的结论要严格证明，根据图象先猜后证。4、如何证明函数在某区间上不是单调函数？ 只须举出一个反例即可，例：y =sinx 在 不是增函数.5*、离散函数都不具有单调性”这句话是否正确？如果把定义域理解为可以是只包含离散点的情况，这句话是不正确的，如数列的通项公式即为离散函数的表达式，则离散函数可以具有单调性.我们不是总说递增数列或递减数列吗？如果把定义域理解为不包含只含有离散点的情况，因为离散函数的定义域也是离散的，。
2.单调性一致区间的写法
写法：
因为如果是不连续区间，它们的值域是不同的。如果是用u表示，表明这几个区间内x对应的y是可以比较大小的，即是说这几个区间的每个x所对应的y因为单调而不等。而和的形式则不行，和的形式仅仅是一个单调区间内可以比较大小，就是说如果是1区间和2区间，这两个区间内的某些y值可以相等，而u的形式的则没有相等的y值。
单调性是针对整个单调区间而言的，在某点处不讲单调。
但函数在单调区间的端点处有意义，一般就写闭区间，开区间也不算错，函数在单调区间的端点处无意义则必须写成开区间。
3.如何求函数的单调区间
利用导数公式进行求导，然后判断导函数和0的大小关系，从而判断增减性，导函数值大于0，说明是增函数，导函数值小于0，说明是减函数，前提是原函数必须是连续且可导的。
一般地，设一连续函数 f(x) 的定义域为D，则
1、如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2∈D且x1>x2，都有f(x1) >f(x2)，即在D上具有单调性且单调增加，那么就说f(x) 在这个区间上是增函数。
2、相反地，如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2∈D且x1>x2，都有f(x1) <f(x2)，即在D上具有单调性且单调减少，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数。
扩展资料
性质
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。
注：在单调性中有如下性质。图例：↑（增函数）↓（减函数）
↑+↑=↑ 两个增函数之和仍为增函数
↑-↓=↑ 增函数减去减函数为增函数
↓+↓=↓ 两个减函数之和仍为减函数
↓-↑=↓ 减函数减去增函数为减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I:
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)。那么就说f(x)在这个区间上是增函数。
相反地，如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时都有f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数。
4.怎样确定一个函数的单调区间
(1)定义法：根据增函数，减函数的定义按照“取值—做差—变形—判断符号—下结论”进行判断
(2)图像法：就是画出函数的图像，根据图像的上升或下降，判断函数的单调性
(2)直接法：就是对于我们所熟悉的函数如一次函数，二次函数，反比例函数等 直接写出他们的单调区间
下面给你做个解题的示范吧 已知f(x)=-3x+1 求他在R上的单调性
解：设x1,x2∈R 且x1
f:(x1)-f(x2)=(-3x2+1)-(-3x1+1)
=3(x1-x2)
∵x1
f(x2)
∴该函数在R上为减函数
好了，这就是最通行的确定单调性和区间地方法
5.求一个函数的单调区间,,写出详细过程,我只要详细过程
先化成关于cosx的二次函数，然后根据三角函数单调区间和值域确定复合函数的单调区间
设cosx=t
f(x)=t^2-(1+t)=t^2-t-1=(t-1/2)^2 -5/4
当t<1/2的时候递减，当t>1/2的时候递增
也就是说，在一个周期内
当cosx<1/2的时候递减，当cosx>1/2的时候递增
π/3<x<5π/3的时候递减，-π/3<x<；π/3的时候递增
考虑到cosx自身单调性，在一个周期内
0<x<；π/3的时候递减，π/3<x<；π的时候递增
π<x<5π/3的时候递减，5π/3<x<2π的时候递增
考虑到周期2π，
2kπ<x<2kπ+π/3的时候递减，2kπ+π/3<x<2kπ+π的时候递增
2kπ+π<x<2kπ+5π/3的时候递减，2kπ+5π/3<x<2kπ+2π的时候递增
k∈Z
6.怎么求解函数的单调区间
定义法：就是设x1 x2然后相减。
复合法：用来求复合函数的单调性，就是那个同增异减的 导数法：求出原函数的导数，若导数>0，则是增，反之则减 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质.如函数单调增表现为“随着x增大，y也增大”这一特征.与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质. 函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有.这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质. 函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法.这就是，加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般.首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画. 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）.可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位. 教学的重点是，引导学生对函数在区间（a,b）上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间（a,b）上任意取x1,x2，当x1f(x1)（或f(x2) 二.目标和目标解析 本节课要求学生理解函数在某区间上单调的意义，掌握用函数单调性的定义证明简单函数在某区间上具有某种单调性的方法（步骤）.1.能够以具体的例子说明某函数在某区间上是增函数还是减函数；2.能够举例，并通过绘制图形说明函数在定义域的子集（区间）上具有单调性，而在整个定义域上未必具有单调性，说明函数的单调性是函数的局部性质；3.对于一个具体的函数，能够用单调性的定义，证明它是增函数还是减函数：在区间上任意取x1,x2，设x1 三.教学问题诊断分析 学生已有的认知基础是，初中学习过函数的概念，初步认识到函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念；进入高中以后，又进一步学习了函数的概念，认识到函数是两个数集之间的一种对应.学生还了解函数有三种表示方法，特别是可以借助图象对函数特征加以直观考察.此外，还学习过一次函数、二次函数、反比例函数等几个简单而具体的函数，了解它们的图象及性质.尤其值得注意的是，学生有利用函数性质进行两个数大小比较的经验. “图象是上升的，函数是单调增的；图象是下降的，函数是单调减的”仅就图象角度直观描述函数单调性的特征学生并不感到困难.困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来，用数学的符号语言描述.即把某区间上“随着x的增大，y也增大”（单调增）这一特征用该区间上“任意的x1 教学中，通过一次函数、二次函数等具体函数的图象及数值变化特征的研究，得到“图象是上升的”，相应地，即“随着x的增大，y也增大”，初步提出单调增的说法.通过讨论、交流，让学生尝试，就一般情况进行刻画，提出“在某区间上，如果对于任意的x1 企图在一节课中完成学生对函数单调性的真正理解可能是不现实的.在今后，学生通过判断函数的单调性，寻找函数的单调区间，运用函数的单调性解决具体问题，等一系列学习活动可以逐步理解这个概念. 四.教学支持条件分析 为了有效实现教学目标，条件许可，可以借助计算机或者计算器绘制函数图象，同时辅以坐标计算、跟踪点以及等手段观察函数的数字变化特征. 五.教学过程设计1.认识研究函数单调性的必要性 前面已经学习过函数的概念、函数表示法，紧接着对函数要研究些什么？那就是函数的性质（特征）.研究函数的性质，是为了更好地把握变化规律. 对于运动变化问题，最基本的就是描述变化的快或慢、增或减……相应的，函数的特征就包含：函数的增与减（单调性），函数的最大值、最小值，等.使学生感受到，紧接研究函数的性质是必然的学习任务.也可以由教师引导，借助对一些函数图象的观察、对所观察到的特征进行归类，引入函数的某个性质的研究.比如，观察图1中各个函数的图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化特征？有图象上升的特征，图象有时上升有时下降的特征，图象关于y轴对称的特征，等.我们将逐一研究这些特征.2.函数单调性的认识 问题串的设计大体从两个层次上展开，目的是经历从直观到抽象，从特殊到一般的过程. 首先利用图象描述变化规律，如上升、下降，从几何直观角度认识函数单调性；然后从数值变化角度描述变化规律，图象上升（下降），也就是随着x的增大y也增大（或减小）；最后用数学符号语言描述. 问题1 如图2，观察一次函数f(x)=x和二次函数f(x)=x2的图象，说说随着x的增大，图象的升降情况. 函数f(x)=x的图象由左到右是上升的；函数f(x)=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的. 意图：通过几何直观，引导学生关注图象所反映出的特征，体验自变量从小到大变化时，函数值大小变化在图象上的表现. 初步提出函数单。
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